Сложение и вычитание смешанных чисел. Часть 1 (5 класс).

Здравствуйте, в этой статье мы постараемся ответить на вопрос: «Сложение и вычитание смешанных чисел. Часть 1 (5 класс).». Если у Вас нет времени на чтение или статья не полностью решает Вашу проблему, можете получить онлайн консультацию квалифицированного юриста в форме ниже.

В математике выделяют дроби правильные и неправильные. Правильные — те, у которых числитель меньше знаменателя. Например: 1/3, 2/5, 4/12. Но бывает и так, что числитель становится больше знаменателя. Если объяснять предметно, то взято больше частей пирога, чем было тех, на которые он поделен. Такое вполне возможно и в жизни, и в математике.

Алгоритм действий при делении двух дробей:

1. Перевести смешанные дроби в обыкновенные (избавиться от целой части).
2. Чтобы произвести деление дробей, нужно преобразовать вторую дробь, поменяв местами её числитель и знаменатель, а затем произвести умножение дробей.
3. Умножить числитель первой дроби на числитель второй дроби и знаменатель первой дроби на знаменатель второй.
4. Найти наибольший общий делитель (НОД) числителя и знаменателя и сократить дробь, поделив числитель и знаменатель на НОД.
5. Если числитель итоговой дроби больше знаменателя, то выделить целую часть.

График а (, ) к рублю (RUB)

График а (, ) к рублю (RUB)

Обыкновенная или простая дробь — это число вида a/b , где a — числитель дроби, b — знаменатель дроби. Суть дроби можно объяснить на примере пирога – например, дробь ¼ означает один кусок пирога из 4-ех.

Правильная — дробь, у которой числитель меньше знаменателя (например, 1/5, 2/9).

Неправильная — дробь, у которой числитель больше или равен знаменателю (например, 7/2, 5/5).

Смешанная — дробь, записанная в виде целого числа и правильной дроби. Она представляет собой сумму этого числа и дроби. Любую неправильную дробь можно перевести в смешанную путем выделения целой части (например, 9/4 = 2 ¼).

Десятичная — дробь со знаменателем 10, 100, 1000 и т.д. (например, 7/10 или 0,7; 9/100 или 0,09). Десятичная дробь записывается в виде целой и дробной части, которые отделяются запятой.

Что такое смешанные дроби?

У таких дробей можно отделить целую часть и оставшуюся после этого дробную. То есть будет видно, сколько взято целых пирогов и плюс определенное количество его частей. Нужно хорошо представить себе описанное, или даже проверить на практике, а не просто заучивать формулы. Тогда сокращение дробей будет выполняться ребенком осмысленно и безошибочно.

Для того чтобы трансформировать неправильную дробь в смешанное число, следует сперва числитель поделить на знаменатель. В результате почти всегда получим целое число и какой-то остаток. Целое число и нужно записать, как целую часть. А остаток — отправить в числитель дробной части. Неизменным остается только знаменатель.

Неправильными называют и дроби с одинаковым числом над и под дробной чертой: 6/6, 12/12 и т. д. Очевидно, что превратить их можно в 1. Наглядно это взято столько кусочков пирога, на сколько он и был поделен, т. е. целый пирог.

Примеры:

• 14/5 = (5*2+4) / 5 = 2 4/5
• 21/6 = (6*3+ 3) / 6 = 3 3/6

Задание:

Выделите целую часть из неправильных дробей:

• 15/4,
• 22/12,
• 30/7.

Можно провести противоположную процедуру — превратить смешанное число в неправильную дробь. Эта операция часто применяется в математических вычислениях, поэтому будет полезным узнать о ней. Для этого нужно сперва умножить целую часть и знаменатель. Затем получившееся число прибавить к числителю, а знаменатель оставить прежним.

Примеры:

• 3 1/8 = (3*8+1) / 8 = 25/8
• 7 4/9 = (7*9+4) / 9 = 67/9

Задание:

1. Преобразовать в смешанное число неправильную дробь:

• 27/4,
• 18/5,
• 45/7.

2. Выполнить обратную первой задачу — смешанное число превратить в неправильную дробь:

• 3 4/5;
• 12 7/11.

Если сравниваются дроби с одинаковыми знаменателями, то очевидно, что большей будет та, числитель у которой больше.

Пример:

1/5 , так как знаменатели одинаковы, а в числителе 1 меньше 5.

Если сравниваются дроби с одинаковыми числителями, то большей будет та, знаменатель у которой меньше.

Пример:

1/2 > 1/8, так как числители одинаковы, а в знаменателе 8 больше 2.

Дроби же с разными знаменателями так просто не сравнишь. Нужно сперва определить их общий знаменатель и привести к нему обе дроби. Правила этой операции были приведены выше. Получим дроби, сравнить которые можно очень легко.

Пример:

Сравниваем дроби 2/5 и 1/10. Для этого приводим их к общему знаменателю — 10. Получаем 4/10 и 1/10. Теперь сравниваем дроби, уже имеющие одинаковые знаменатели: 4/10 > 1/10.

Есть один секрет, который нужно запомнить. Если одна из сравниваемых дробей неправильная, то она всегда больше правильной. Если подумать и вспомнить свойства дробей, то все становится понятно. Ведь неправильная дробь всегда будет больше единицы, тогда как правильная, наоборот, всегда будет меньше.

Вычитание смешанного дроби из целого числа.

Субъект 3 не имеет части и не может быть удален немедленно. Возьмите единицу из целой части числа 3 и удалите ее. Запишите единицу в виде ⌘ (3 = 2 + 1 = 2 + \ frac = 2 \ frac \).

Рассмотрим пример, при условии, что дробная часть минуса и абстракция имеют разные знаменатели. Общий знаменатель должен быть уменьшен, а затем удален.

Уберите две смешанные дроби с разными знаменателями \(2 \ frac \) и \(1 \ frac \).

Общий знаменатель равен 12.

Вопрос по теме: как вычесть смешанные дроби? Как решать смешанные дроби? ОТВЕТ: определите тип выражения и примените алгоритм решения в соответствии с типом выражения. Вычтите целое из целого и дробную часть из дробной части.

Как удалить часть целого числа? Как удалить часть целого числа? Ans: Получите единицу от целого числа и запишите эту единицу в виде дроби.

Затем из целого целого числа извлеките дробную часть. ПРИМЕР.

Сложение десятичных дробей.

При сложении десятичных дробей процесс записывают «столбиком» (как обычное умножение столбиком), так чтобы одноимённые разряды находились друг под другом без смещения. Запятые обязательно выравниваем чётко друг под другом.

Правила сложения десятичных дробей:

1. Если нужно, уравниваем количество знаков после запятой. Для этого добавляем нули к необходимой дроби.

2. Записываем дроби так, чтобы запятые находились друг под другом.

3. Складываем дроби, не обращая внимания на запятую.

4. Ставим запятую в сумме под запятыми, дробей, которые складываем.

Обратите внимание! Когда у заданных десятичных дробей разное количество знаков (цифр) после запятой, то к дроби, у которой меньше десятичных знаков приписываем нужное количество нулей, для уравнения в дробях число знаков после запятой.

Разберёмся на примере. Найти сумму десятичных дробей:

Уравниваем число знаков после запятой в десятичных дробях. Дописываем 2 нуля справа к десятичной дроби 13,7 .

Сложение смешанных чисел

Сложение смешанных чисел можно привести к отдельному сложению их целых частей и дробных частей. Для этого нужно действовать поэтапно:

1. Сложить целые части.

2. Сложить дробные части.

Если знаменатели разные, воспользуемся знаниями из предыдущего примера и приведем к общему.

3. Суммируем полученные результаты.

Если при сложении дробных частей получилась неправильная дробь, нужно выделить ее целую часть и прибавить к полученной ранее целой части.

Если урок в самом разгаре и посчитать нужно быстро — можно воспользоваться онлайн-калькулятором. Вот несколько подходящих:

Прибавление и вычитание дробей — смежные темы: принципы и закономерности очень похожи. Чтобы закрепить знания, нужно решать примеры сложения дробей, как можно чаще.

Вычитание дробей из целого числа

Еще одной из разновидностей действий с дробями является тот случай, когда дробь необходимо отнять от На первый взгляд подобный пример кажется трудно решаемым. Однако здесь все довольно просто. Для его решения необходимо перевести целое число в дробь, причем с таким знаменателем, который имеется в вычитаемой дроби. Далее производим вычитание, аналогичное вычитанию с одинаковыми знаменателями. На примере это выглядит так:

7 — 4/9 = (7 х 9)/9 — 4/9 = 53/9 — 4/9 = 49/9.

Приведенное в этой статье вычитание дробей (6 класс) является основой для решения более сложных примеров, которые рассматриваются в последующих классах. Знания этой темы используются впоследствии для решения функций, производных и так далее. Поэтому очень важно разобраться и понять действия с дробями, рассматриваемые выше.

Правила сложения дробей с разными знаменателями очень простые.

Рассмотрим правила сложения дробей с разными знаменателями по шагам:

1. Найти НОК (наименьшее общее кратное) знаменателей. Полученный НОК будет общим знаменателем дробей;

2. Привести дроби к общему знаменателю;

3. Сложить дроби, приведенные к общему знаменателю.

На простом примере научимся применять правила сложения дробей с разными знаменателями.

Как найти наименьшее общее кратное, наименьший общий знаменатель (НОК или НОЗ)

Наименьшее общее кратное двух чисел (наименьший знаменатель) (НОК) — это наименьшее натуральное число, которое делится на оба эти числа без остатка.

Иногда НОК можно подобрать в уме, чаще всего перемножением двух знаменателей. Тогда получается так, что и один и другой знаменатель делится друг на друга.

Однако проблемы возникают с большими числами, приходится находить НОК письменно, с помощью следующего алгоритма:

Для того, чтобы найти НОК нескольких чисел, нужно:

Разложить эти числа на простые множители
Взять самое большое разложение, и записать эти числа в виде произведения
Выделить в других разложениях числа, которые не встречаются в самом большом разложении (или встречаются в нем меньшее число раз), и добавить их к произведению.

Примеры решения дробных уравнений

Чтобы стать успешным в любом деле, нужно чаще практиковаться. Мы уже знаем, как решаются дробные уравнения — давайте перейдем к решению задачек.

Пример 1. Решить дробное уравнение: 1/x + 2 = 5.

Как решаем:

1. Вспомним правило х ≠ 0. Это значит, что область допустимых значений: х — любое число, кроме нуля.
2. Отсчитываем справа налево в числителе дробной части три знака и ставим запятую.
3. Избавимся от знаменателя. Умножим каждый член уравнения на х.
   

   1 + 2x = 5х

4. Решим обычное уравнение.

   5x — 2х = 1

   3x = 1

   х = 1/3

Ответ: х = 1/3.

Пример 2. Найти корень уравнения

Как решаем:

1. Область допустимых значений: х ≠ −2.
2. Умножим обе части уравнения на выражение, которое сократит оба знаменателя: 2(х+2)
3. Избавимся от знаменателя. Умножим каждый член уравнения на х.

4. Переведем новый множитель в числитель..

5. Сократим левую часть на (х+2), а правую на 2.
   

   4 = х + 2

   х = 4 — 2 = 2

Ответ: х = 2.

Пример 3. Решить дробное уравнение:

Как решаем:

1. Найти общий знаменатель:
   

   3(x-3)(x+3)

2. Умножим обе части уравнения на общий знаменатель. Сократим. Получилось:

   3(x+3)(x+3)+3(x-3)(x-3)=10(x-3)(x+3)+3*36

3. Выполним возможные преобразования. Получилось квадратное уравнение:

   x2-9=0

4. Решим полученное квадратное уравнение:

   x2=9

5. Получили два возможных корня:

   x₁=−3, x₂=3

   х = 4 — 2 = 2

6. Если x = −3, то знаменатель равен нулю:

   3(x-3)(x+3)=0

   Если x = 3 — знаменатель тоже равен нулю.

7. Вывод: числа −3 и 3 не являются корнями уравнения, значит у данного уравнения нет решения.

Ответ: нет решения.

Если нужно решить уравнение с дробями быстро — поможет онлайн-калькулятор дробей. Пользуйтесь им, если уже разобрались с темой и щелкаете задачки легко и без помощников:

• Калькулятор раз
• Два
• Три

Примеры для самопроверки

Теория — это, конечно, хорошо. Но без практики — никуда. Пора потренироваться в решении примеров и закрепить тему сравнения дробей.

Пример 1. Сравните дроби:

Ответ: по правилу сравнения дробей с одинаковыми знаменателями, больше та дробь, у которой числитель больше. Это значит, что

Пример 2. Сравните дроби:

Ответ: по правилу сравнения дробей с разными знаменателями и одинаковыми числителями, больше та дробь, чей знаменатель меньше. Это значит, что

Пример 3. Сравните дроби:

Как решаем:

Ответ:.

• По правилу сравнения дробей с разными числителями и знаменателями, сначала нужно привести дроби к общему знаменателю:
• Наименьшее общее кратное — 15:
  15 : 15 = 1
  15 : 5 = 3
• Умножаем первую дробь на дополнительный множитель 1:
• Умножаем вторую дробь на дополнительный множитель 3:
• Дроби приведены к общему знаменателю:
• Сравниваем числители получившихся дробей: 3

Пример 4. Найдите разность:

Как решаем:

• Смешанные дроби превращаем в неправильные:
• Чтобы сравнить дроби с разными числителями и знаменателями, нужно привести их к общему знаменателю.
• Наименьшее общее кратное — 42:
  42 : 7 = 6
  42 : 6 = 7
• Умножаем первую дробь на дополнительный множитель 6:
• Умножаем вторую дробь на дополнительный множитель 7:
• Дроби приведены к общему знаменателю.
• Если знаменатели одинаковые — больше та дробь, числитель которой больше.
  Мы видим, что вычитаемое меньше уменьшаемого, значит можем найти разность:

Чтобы отнять от уменьшаемого семи четырнадцатых вычитаемое две четырнадцатых, следует отнять от числителя семь и числитель два.

7 14

—

2 14

=

7 — 2 14

=

6 14

Что умеет калькулятор дробей?

Современные калькуляторы дробей способны производить практически какие угодно математические действия и расчеты, связанные с дробями. Калькулятор дробей поможет с детальным решением задач, а также закрепит ваши знания по теме и прочее.

Калькулятор дробей онлайн без проблем справляется как с обыкновенными дробями, так и с десятичными или смешанными (содержащие целые числа).

Решение задач, содержащих дроби, часто пригождается ученикам, студентам, аспирантам и даже инженерам. Это освобождает свободное время, экономит энергию и силы на более важные дела.

Наш дробный калькулятор позволяет пользователям совершать такие действия, как:

• Деление;
• Умножение;
• Вычитание и сложение дробей.

При необходимости можно использовать и дополнительные функции калькулятора, не связанные напрямую с дробями.

Преимущество подобного калькулятора состоит в его мобильности. Вы можете использовать его на телефоне или компьютере, так что для него не нужно будет освобождать место или носить с собой.

Некоторые преподаватели позволяют своим студентам пользоваться на занятиях подобными калькуляторами для решения задач с дробями.

Похожие записи:

• Оплата капремонта пенсионерами старше 80 лет: льготы и компенсации
• Что в Башкирии положено семьям с детьми в 2022.
• Как оформить пособие по уходу за инвалидом и какие полагаются выплаты?